赌博默示录-第02集

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• 来自网友【当麻君】的评论也就是开司和利根川玩的那个国王-市民-奴隶的卡牌游戏一、首先考虑剧中的设定假设双方有n张民牌王方：王 民 ... 民奴方：奴 民 ... 民设a[n]: 王方胜利的概率1-a[n]: 奴方胜利的概率第一局双方出牌的概率王方 p[n]：出王的概率 1-p[n]：出民的概率奴方 q[n]：出奴的概率 1-q[n]：出民的概率有一个地方我没懂，双方的卡牌可以收回去吗？如果双方都出民，那民肯定是要收掉的，不然一直出民，游戏就永远不会结束了但如果一方出的不是民呢？例如双方出王-民1、双方都能保留自己的牌。那双方可以一直出王或奴，牌就不会损耗；就算这一张牌输了，但是可以一直拖下去，游戏永不完结，就没有意义了2、王方的王可以保留，奴方的民损耗掉（像是军棋）3、双方的牌都损耗掉，只是给王方+1分其实23两种情况的最后结果没有区别四种情况：p[n]q[n]: 王-奴，奴方胜利 因为接下来奴方可以一直出民，把王方的民全部兑掉即可 如果奴方可以保存这张奴，那最后还能剩一个奴p[n](1-q[n]): 王-民，王方胜利 因为接下来王方可以一直出民，把奴方的民全部兑掉即可 如果王方可以保存这张王，那最后还能剩一个王+民(1-p[n])q[n]: 民-奴，王方胜利 因为接下来王方可以一直出民，把奴方的民全部兑掉即可 如果王方可以保存这张民，那最后还能剩一个王 如果王方可以保存这张民，那还可以改成一直出王，把奴方的民全部吃掉，最后全部牌都能存活(1-p[n])(1-q[n]): 民-民，双方的牌抵消掉，转移成双方n-1张民牌的情况 a[n-1]: 王方胜利 1-a[n-1]: 奴方胜利特别地，如果n=0（递推的初始情况）双方0张民王方：王奴方：奴此时a[0] = 0: 王方胜利1-a[0] = 1: 奴方胜利出牌概率：王方：p[0] = 1奴方：q[0] = 1总结：递推起始条件a[0] = 0p[0] = 1q[0] = 1递推式：a[n] = p[n](1-q[n]) + (1-p[n])q[n] + (1-p[n])(1-q[n])a[n-1]设王方期望收益：赢了收获W，输了赔付Se[n] = a[n]W - (1-a[n])S设奴方期望收益：赢了收获S，输了赔付W(1-a[n])S - a[n]W零和博弈，-e[n]（其实不妨假设W=1）纳什均衡：王方收益对q[n]求导，结果为0：当王方这样选择时，奴方没有调整策略的倾向 (-p[n] + (1-p[n]) - (1-p[n])a[n-1]) W+ (-p[n] + (1-p[n]) - (1-p[n])a[n-1]) S= (1 - 2p[n] - a[n-1] + p[n]a[n-1]) W+ (1 - 2p[n] - a[n-1] + p[n]a[n-1]) S= (1 - 2p[n] - a[n-1] + p[n]a[n-1]) (W+S)= 0得到：p[n] = (1-a[n-1]) / (2-a[n-1])1-p[n] = 1 / (2-a[n-1])奴方收益对p[n]求导，结果为0：当奴方这样选择时，王方没有调整策略的倾向与王方的式子完全对称，所以q[n] = p[n]再代入递推式：a[n]= p[n](1-q[n]) + (1-p[n])q[n] + (1-p[n])(1-q[n])a[n-1]= 2 (1-a[n-1]) (2-a[n-1])^2 + a[n-1] / (2-a[n-1])^2= 1 / (2-a[n-1])则1-a[n] = (1-a[n-1]) / (2-a[n-1])1 / (1-a[n]) = (2-a[n-1]) / (1-a[n-1]) = 1 + 1 / (1-a[n-1])解得1 / (1-a[n]) = n+1a[n] = n/(n+1)p[n] = 1-a[n-1] / (2-a[n-1]) = 1-(n-1)/n / 2-(n-1)/n = 1/n / 1+1/n = 1 / n+1即：纳什均衡策略是双方完全随机出牌那么就等价于：双方一次性把n+1张牌排好顺序全部出出来，然后一起开牌如果王和奴在同一顺位，那么奴方胜利否则，王方胜利结果是一样的：其实从一开始就这么考虑的话，最简单王方期望收益：赢了收获W=1，输了赔付Sa[n]W - (1-a[n])S = n/(n+1) W - 1/(n+1) S需要S是W的n倍剧中n=4第一步以1/5的概率出王/奴，第二步1/4，第三步1/3，第四步1/2，第五步1/1王方胜率是4/5，奴方是1/5需要S是W的4倍，才公平现在S是W的5倍，所以开司占便宜不过，其实一边赌的是钱，一边赌的是耳朵，完全不同，其实也很难说这是几赔几二、考虑剧中的设定的变种：假如双方每出一张牌就进行一轮结算呢？之一、假如双方的牌都能保留自己的牌那么张数就没有多少意义了，相当于石头剪子布，一方只能出石头（民）+布（王），一方只能出石头（民）+剪刀（奴）王方：p的概率出王，1-p的概率出民奴方：q的概率出奴，1-q的概率出民四种情况：pq: 王-奴，奴方收益 S - e，王方收益 -S + ep(1-q): 王-民，王方收益 W + e(1-p)q: 民-奴，王方收益 W + e(1-p)(1-q): 民-民，王方收益 0 + ee = pq(-S+e) + p(1-q)(W+e) + (1-p)q(W+e) + (1-p)(1-q)e0 = pq(-S) + p(1-q)W + (1-p)qW= -pqS + (p+q-2pq)We都被约掉了？的确，王方每次收益应该是恒正，叠加起来会接近于无穷那么只玩一轮才对，那就是e = pq(-S) + p(1-q)W + (1-p)qW无论是一轮还是无穷轮，两者的纳什均衡是一样的：王方收益对q求导，结果为0：当王方这样选择时，奴方没有调整策略的倾向0 = -pS + (1-2p)Wp = W / (S+2W)同理 q = W / (S+2W)e = -W^2 S / (S+2W)^2 + W (2W / (S+2W) - 2W^2 / (S+2W)^2)e / W^2 = -S / (S+2W)^2 +(2 / (S+2W) - 2W / (S+2W)^2)e * (S+2W)^2 / W^2 = -S + (2 (S+2W) - 2W) = S+2We = W^2 / (S+2W) > 0 恒成立S需要尽可能大，使得e趋近于0，才比较公平不过此时，p = q = W / (S+2W)也会趋近于0，即双方几乎都只出民的确，王方一直出民，至少可以立于不败之地之二、如果双方都出民，则收掉；否则都保留四种情况：p[n]q[n]: 王-奴，奴方收益 S - e[n]，王方收益 -S + e[n]p[n](1-q[n]): 王-民，王方收益 W + e[n](1-p[n])q[n]: 民-奴，王方收益 W + e[n](1-p[n])(1-q[n]): 民-民，双方的牌抵消掉，转移成双方n-1张民牌的情况，王方收益 0 + e[n-1]之三、胜方保留自己的牌（军棋模式）1、如果第一轮是民-奴，那么接下来王方当然一直出王，把奴方的民全部吃掉，每一轮都能赢2、如果第一轮是王-奴，奴方接下来必须一直兑民，因为再出奴就是白送3、如果第一轮是王-民，那么接下来王方如果采用兑民战术，就可以保证收益大于0，但不够高如果接下来还想出王再多吃民，收益可能更高，但王也可能被奴吃回去，比赛回到平局之四、双方的牌都消耗掉四种情况：p[n]q[n]: 王-奴，奴方收益 S - e[n-1]，王方收益 -S + e[n-1]p[n](1-q[n]): 王-民，王方收益 W + e[n-1](1-p[n])q[n]: 民-奴，王方收益 W + e[n-1](1-p[n])(1-q[n]): 民-民，双方的牌抵消掉，转移成双方n-1张民牌的情况，王方收益 0 + e[n-1]之二三四的情况，以后再算吧
• 来自网友【The_Carrot】的评论画风令人诧异。。。